Chứng minh Định lý Ptoleme

Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB.
Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
1. Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD đồng dạng với △KBC.
Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
1. Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
2. Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
3. Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
4. Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Liên quan

Tài liệu tham khảo